Icosaèdre
Définition
Un icosaèdre est une forme géométrique à 20 côtés, chacun composé d'un triangle équilatéral. L'icosaèdre est l'un des cinq polyèdres réguliers en trois dimensions avec ses 20 faces en triangles équilatéraux congruents. Il a une symétrie icosaédrique. Un polyèdre régulier à vingt côtés comprend un antiprisme. Par exemple, la molécule de fullerène C60 est un icosaèdre tronqué.
Un isocaèdre sous la forme d'un dé :
Un dé de type icosaèdre dispose de 20 faces triangulaires régulières. Ce dé est largement utilisé dans les jeux de rôle du d20 system pour la troisième édition du jeu de rôle Donjons et Dragons. Le nom du système d20 provient du dé à vingt faces qui est le centre de plusieurs mécanismes du jeu.
Explications
Il existe une infinité de formes non similaires d'icosaèdres, certaines étant plus symétriques que d'autres. Le plus connu est l'icosaèdre régulier (convexe, non étoilé, un des solides de Platon) dont les faces sont 20 triangles équilatéraux. Deux sont des icosaèdres réguliers : l'icosaèdre régulier convexe (en rouge dans l'image ci-dessus) et le grand icosaèdre (en étoile, image des stellations ci-dessous).
L'icosaèdre est le meilleur de tous les polyèdres réguliers pour la triangulation de la sphère par la méthode de partitionnement récursif. Puisqu'il contient le plus grand nombre de faces parmi eux, la distorsion des triangles résultants par rapport aux triangles corrects est minime.
L'icosaèdre régulier a ses 20 faces en triangle équilatéral. Le nombre d'arêtes est de 30, le nombre de sommets est de 12. L'icosaèdre a 59 stellations. La stellation est le processus d'extension des faces ou des arêtes d'un polyèdre jusqu'à ce qu'elles se rencontrent pour former un nouveau polyèdre. Cela se fait de manière symétrique afin que la figure résultante conserve la symétrie globale de la figure parente.
Les stellations d'icosaèdre :
Le processus de stellation sur l'icosaèdre crée un certain nombre de polyèdres et de composés apparentés avec une symétrie icosaédrique.
Histoire
Euclide dans la proposition 16 du livre XIII des "Éléments" a engagé la construction d'un icosaèdre, obtenant d'abord deux pentagones réguliers situés dans deux plans parallèles - à partir de ses dix sommets, puis - les deux sommets restants opposés l'un à l'autre. pappus d'Alexandrie dans la "Collection mathématique" est engagé dans la construction d'un icosaèdre inscrit dans une sphère donnée, prouvant au passage que ses douze sommets se trouvent dans quatre plans parallèles, formant en eux quatre triangles réguliers.
Icosaèdre régulier
Un icosaèdre régulier peut être inscrit dans un cube, tandis que six arêtes mutuellement perpendiculaires de l'icosaèdre seront situées respectivement sur six faces du cube, les 24 arêtes restantes à l'intérieur du cube, les douze sommets de l'icosaèdre se trouveront sur six faces du cube.
Un tétraèdre peut être inscrit dans un icosaèdre, de sorte que les quatre sommets du tétraèdre seront alignés avec les quatre sommets de l'icosaèdre.
Un icosaèdre peut être inscrit dans un dodécaèdre, avec les sommets de l'icosaèdre alignés avec les centres des faces du dodécaèdre.
Un dodécaèdre peut être inscrit dans un icosaèdre avec les sommets du dodécaèdre et les centres des faces de l'icosaèdre alignés.
Vous pouvez assembler le modèle de l'icosaèdre à l'aide de 20 triangles équilatéraux.
Il est impossible d'assembler un icosaèdre à partir de tétraèdres réguliers, puisque le rayon de la sphère circonscrite autour de l'icosaèdre, respectivement, et la longueur du bord latéral (du sommet au centre d'un tel assemblage) du tétraèdre est inférieur à la bord de l'icosaèdre lui-même. Les tétraèdres, obtenus en divisant l'icosaèdre, ont un angle de surface de 60 °, et l'interne (par rapport au centre du corps de l'icosaèdre) a un angle d'icosaèdre d'environ 63,434949 °.
Un icosidodécaèdre est un motif géométrique avec 12 faces pentamériques identiques.
Icosaèdre tronqué
L'icosaèdre tronqué est un polyèdre composé de 12 pentagones réguliers et de 20 hexagones réguliers. Il a une symétrie de type icosaédrique. En fait, un ballon de football classique n'a pas la forme d'un ballon, mais d'un icosaèdre tronqué à faces convexes (sphériques).
Un icosaèdre tronqué peut être obtenu en coupant 12 sommets pour former des faces en forme de pentagones réguliers. Dans le même temps, le nombre de sommets du nouveau polyèdre augmente de 5 fois (12×5 = 60), 20 faces triangulaires se transforment en hexagones réguliers (le nombre total de faces devient 20+12 = 32), et le nombre d'arêtes passe à 30 + 12×5 = 90.
Synonymes, antonymes
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