Point critique

Définition

En thermodynamique, le point critique est la limite pour laquelle le volume d'un liquide est égal à celui d'une masse égale de vapeur ou, en d'autres termes, pour lequel les densités de liquide et de vapeur sont égales. Si les densités du liquide et de la vapeur sont mesurées en fonction de la température et que les résultats sont tracés, la température critique peut être déterminée à partir du point d'intersection des deux courbes. Le point triple intègre aussi la phase solide.

Diagramme température-pression avec point critique et point triple :

Le diagramme montre le point critique qui est la limite entre l'état liquide et l'état gazeux en fonction de la relation température-pression. Le point triple correspond aux trois états possible d'un composé.

Explications

En mathématique, dans un calcul, un point critique d'une fonction d'une variable réelle est toute valeur du domaine dans lequel la fonction n'est pas différentiable ou lorsque sa dérivée est 0. La valeur de la fonction au point critique c'est une valeur critique de la fonction. Ces définitions admettent des généralisations aux fonctions de plusieurs variables, des cartes différentiables entre R_m et R_n et des cartes différentiables entre des variétés différentiables. En physique, on parle de "phénomène critique". Dans la théorie des ensembles, il est une intégration élémentaire d'une classe transitive dans une autre classe transitive qui est le plus petit ordinal qui n'est pas mappé sur elle-même

En sécurité alimentaire, le point critique définit l'étape d'un protocole dans lequel est produit un contrôle essentiel pour la prévention d'un risque.

Point critique thermodynamique

En thermodynamique et en physicochimie, un point critique est la limite pour laquelle le volume d'un liquide est égal à celui d'une masse égale de vapeur ou, en d'autres termes, dans laquelle les densités de liquide et de vapeur sont égales. Si les densités du liquide et de la vapeur sont mesurées en fonction de la température et que les résultats sont tracés, la température critique peut être déterminée à partir du point d'intersection des deux courbes.

Sur le diagramme de phases typiques ci-dessus, la courbe rouge montre la variation de la température de sublimation d'une substance. La courbe verte indique la variation du point de congélation (la section de la courbe verte avec des points indique le comportement anormal de l'eau H2O) et la courbe bleue, celle du point d'ébullition. Il montre comment la température de sublimation, la température de congélation et la température d'ébullition varient avec la pression (voir aussi l'eau bouillante). Le point d'union entre les trois courbes. le rouge, le vert et le bleu, est le triple point. Le point critique est visible à l'extrême droite de la courbe bleue.

Point critique mathématique

Dans le cas d'une fonction à variable simple, un point critique d'une fonction d'une variable réelle unique, ƒ (x), est une valeur × 0 dans le domaine de ƒ où la fonction n'est pas différentiable, ou si sa dérivée est 0, ƒ'(x₀) = 0. Toute valeur dans la codomaine de ƒ qui est l'image d'un point critique sous ƒ est une valeur critique de ƒ. Ces concepts peuvent être visualisés à l'aide du graphe de ƒ: dans un point critique, le graphe n'admet pas de tangente, ou la tangente est une ligne verticale ou horizontale. Dans ce dernier cas, la dérivée est égale à zéro et le point s'appelle un point stationnaire de la fonction. Selon le théorème de Fermat, les maximums et minima locaux d'une fonction ne peuvent exister qu'à ses points critiques. Cependant, chaque point fixe n'est pas un maximum ou un minimum de la fonction; il peut aussi correspondre à un tournant du graphique, comme pour ƒ(x) = x³ à x = 0, ou le graphique peut osciller au voisinage du point, comme dans le cas de la fonction définie par la formule ƒ(x) = x²sin (1/x) pour x  800; 0 et ƒ(0) = 0, au point x = 0.

Dans le cas d'une fonction à plusieurs variables (en supposant que les fonctions sont lisses), la condition d'être un point critique équivaut à ce que toutes ses dérivées partielles soient nulles; pour une fonction dans une variété, cela équivaut à un différentiel égal à zéro. Si la matrice de Hessian en un point critique est non singulière, le point critique est appelé non dégénéré et le signe des valeurs propres de Hessian détermine le comportement local de la fonction. Dans le cas d'une fonction réelle d'une variable réelle, le hessien est simplement la dérivée seconde et la non-singularité équivaut à être différent de zéro. Un point critique non dégénéré d'une fonction réelle d'une variable est un maximum si la dérivée seconde est négative et un minimum s'il est positif. Pour une fonction de n variables, le nombre de valeurs propres négatives d'un point critique est appelé son index, et un maximum est atteint lorsque toutes les valeurs propres sont négatives (index n, la matrice de Hessian est définie comme négative) et un minimum est atteint lorsque toutes les valeurs propres ils sont positifs (indice zéro, la matrice de Hesse est définie positive); Dans tous les autres cas, le point critique peut être un maximum, un minimum ou un point fixe (index strictement compris entre 0 et n, la matrice de Hessian n'est pas définie). Ceci équivaut à étudier la signature de la forme quadratique définie par la matrice de Hesse au point, car il existe plusieurs méthodes, celle de Sylvester (basée sur l'étude des principaux mineurs de la matrice), par congruence, ou la méthode susmentionnée. méthode des valeurs propres. La théorie de morse applique ces idées à la détermination de la topologie des variétés, finies ou infinies.

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