Isodiamétrique

Définition

isodiamétrique précise une forme dont tous les diamètres principaux sont égaux; dans un plan, isodiamétrique est dit équant. Simplement, isodiamétrique signifie à peu près aussi long que large, y compris carré, circulaire, hexagonal. Par exemple, les cellules ayant le même diamètre dans toutes les directions sont isodiamétriques.

Des polygones isodiamétriques :

Des figures isodiamétriques avec des pentadécagones et dodécagones optimaux à polygones de Reuleaux circonscrits réguliers. Ces figures peuvent aussi être isopérimétriques.

Explications

L'acquisition d'une polarité de croissance est un changement de forme d'une cellule passant d'un stade méristématique, sensiblement isodiamétrique, à un stade de croissance orientée dans une direction privilégiée (élongation); seules certaines faces pariétales s'accroissent.

Le périmètre maximal d'un polygone convexe équilatéral de diamètre unitaire et n = 2 m d'arêtes n'est pas connu lorsque m ≥ 4. En utilisant des méthodes expérimentales, nous construisons des polygones améliorés pour m ≥ 4, et prouvons que les périmètres que nous obtenons ne peuvent pas être améliorés pour un grand n de plus que c/n 4, pour une constante particulière c. Il existe deux problèmes isodiamétriques classiques pour les courbes dans le plan. Tout d'abord, déterminez l'aire maximale délimitée par une courbe plane fermée de diamètre unitaire. Deuxièmement, déterminez le périmètre maximal d'une courbe plane convexe fermée de diamètre unitaire. Il est bien connu que la solution unique dans les deux problèmes est atteinte par un cercle. Le problème d'aire a été résolu par Bieberbach en 1915, et la question du périmètre a été répondue par Rosenthal et Sz'asz en 1916. Nous pouvons poser les mêmes questions pour les polygones à nombre fixe de côtés. aire A(P) délimitée par un polygone P à n côtés et diamètre unitaire. Deuxièmement, déterminer le périmètre maximal L(P) d'un polygone convexe P à n côtés et de diamètre unitaire. Ces problèmes ont été étudiés pour la première fois par Reinhardt en 1922.

Reinhardt a établi plusieurs résultats sur ces problèmes, que nous résumons brièvement ici :

• Si n est impair, alors le n-gone régulier de diamètre unitaire atteint à la fois l'aire maximale et le périmètre maximal.
• Le n-gone régulier est l'unique solution dans le problème d'aire lorsque n est impair, mais c'est l'unique solution dans le problème de périmètre lorsque n est impair uniquement si n est premier
• Si n est pair et n ≥ 6, alors le n-gone régulier de diamètre unitaire n'atteint pas le aire maximale, ni le périmètre maximal.
• Si n a un diviseur impair, alors chaque polygone avec un périmètre maximal est équilatéral.

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